\chapter{简谐振动系统的数学描述}
	
	\section{基本定义}
	简谐振动的数学描述基于回复力$F=-kx$作用下的周期性运动，其核心方程为二阶线性常微分方程：
	
	\section{动力学方程}
	牛顿第二定律与胡克定律结合：
	
	\begin{equation}
		m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx \Rightarrow 
		\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0
	\end{equation}
	
	定义角频率$\omega = \sqrt{k/m}$，得到标准形式：
	
	\begin{equation}
		\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0
	\end{equation}
	
	\section{运动学解}
	通解表达式：
	
	\begin{equation}
		x(t) = A\cos(\omega t + \phi) = A\sin(\omega t + \phi')
	\end{equation}
	
	其中$\phi' = \phi + \pi/2$，参数关系：
	\begin{itemize}
		\item 振幅$A$：最大位移
		\item 初相位$\phi$：由初始条件确定
		\item 相位角$\omega t + \phi$
	\end{itemize}
	
	\section{导数关系}
	\begin{align}
		v(t) &= \frac{dx}{dt} = -\omega A\sin(\omega t + \phi) \\
		a(t) &= \frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 A\cos(\omega t + \phi) = -\omega^2 x
	\end{align}
	
	极值特征：
	\begin{itemize}
		\item $v_{\max} = \omega A$（平衡位置）
		\item $a_{\max} = \omega^2 A$（端点处）
	\end{itemize}
	
	\section{参数确定}
	初始条件$(x_0,v_0)$确定参数：
	
	\begin{equation}
		\begin{cases}
			x_0 = A\cos\phi \\
			v_0 = -\omega A\sin\phi
		\end{cases}
	\end{equation}
	
	解得：
	\begin{align}
		A &= \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2} \\
		\phi &= \arctan\left(-\frac{v_0}{\omega x_0}\right)
	\end{align}
	
	\section{能量守恒}
	\begin{align}
		E_k &= \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2\sin^2(\omega t + \phi) \\
		E_p &= \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega t + \phi) \\
		E &= E_k + E_p = \frac{1}{2}kA^2
	\end{align}
	
	\section{其他表示法}
	\subsection{旋转矢量法}
	\begin{itemize}
		\item 矢量长度$A$，角速度$\omega$
		\item $t=0$时与$x$轴夹角$\phi$
		\item 位移$x$为矢量在$x$轴投影
	\end{itemize}
	
	\subsection{复数表示}
	\begin{equation}
		\tilde{x}(t) = Ae^{i(\omega t + \phi)} \Rightarrow x(t) = \mathrm{Re}[\tilde{x}(t)]
	\end{equation}
	
	\section{规律总结}
	\begin{tabular}{lll}
		\toprule
		物理量 & 表达式 & 极值位置 \\
		\midrule
		位移$x$ & $A\cos(\omega t + \phi)$ & $x=\pm A$ \\
		速度$v$ & $-\omega A\sin(\omega t + \phi)$ & $x=0$ \\
		加速度$a$ & $-\omega^2 x$ & $x=\pm A$ \\
		\bottomrule
	\end{tabular}
	